Süleyman Ələsgərov 20 Haziran 1915'te Bakü'de doğdu. Yedi yıllık eğitimini tamamlayıp Maliye Teknik Okulu'na girdi. Orada üç yıl okuyup ekonomist diploması aldıktan sonra Azerbaycan Devlet Tıp Enstitüsü'ne sınav verdi ve orada da üç yıl daha okudu. Sahneye ilk kez 1933'te Denizciler Kültür Evi'nin drama kulübünde çıktı. Sahne sanatına bağlılığı nedeniyle eğitimini yarım bıraktı. Eylül 1936'da Süleyman Ələsgərov, yarışma yoluyla Genç Seyirciler Tiyatrosu'na oyuncu olarak alındı. Süleyman Ələsgərov "Azərbaycanfilm" film stüdyosunun ürettiği birkaç filmde çok küçük yan rollerde oynadı. En popüler ve en önemli ekran karakteri "Bizim Cəbiş Müəllim" filmindeki ana karakter olan Cəbiş müəllim rolüdür. Genç Seyirciler Tiyatrosu'nun gelişimindeki hizmetleri nedeniyle oyuncu 27 Şubat 1954'te Azerbaycan SSC'nin Emektar Sanatçısı, 1 Aralık 1982'de ise Halk Sanatçısı fahri unvanlarına layık görüldü. Səməd Vurğun ("Komsomol Poeması", İsgəndər Coşqun) rolü için Cumhuriyet Lenin Komsomol Ödülü'nün sahibi oldu. Süleyman Ələsgərov Genç Seyirciler Tiyatrosu'nda kesintisiz olarak altmış üç yıl sahneye çıktı. Dramlarda, komedilerde, trajedilerde, masallarda, masal-destan konulu oyunlarda birbirinden renkli roller yarattı. Seksen üç yaşında bile sahnede canlı, dinamik ve taze görünüyordu. Sahne mantığını her zaman hassasiyetle gözetti. Sanatının özü, hamuru büyük ölçüde gerçekçi oyunculuk okulunun estetik ilkeleriyle yoğrulmuştur. Kahraman karakterlerin canlandırılması psikolojik dramatizmi, komik ve hicivsel roller ise doğallığı, renkli mizahı, estetik zarafeti ile karakterizedir.
