Сулейман Алескеров родился 20 июня 1915 года в Баку. Окончив семилетнее образование, поступил в Финансовый техникум. Учился там три года, а после получения диплома экономиста сдал экзамены в Азербайджанский государственный медицинский институт, где также учился три года. Впервые вышел на сцену в 1933 году в драматическом кружке Дома культуры моряков. Из-за увлечённости сценой оставил учёбу незавершённой. В сентябре 1936 года Сулейман Алескеров по конкурсу был принят актёром в Театр юного зрителя. Сулейман Алескеров снимался в очень маленьких эпизодических ролях в нескольких фильмах, выпущенных киностудией «Азербайджанфильм». Его самой популярной и значительной экранной ролью стала роль главного героя, учителя Джабиша, в фильме «Наш учитель Джабиш». За заслуги в развитии Театра юного зрителя актёр 27 февраля 1954 года был удостоен почётного звания заслуженного артиста Азербайджанской ССР, а 1 декабря 1982 года — народного артиста. Стал лауреатом Республиканской премии Ленинского комсомола за роль Самеда Вургуна («Комсомольская поэма», Искендер Джошгун). Сулейман Алескеров без перерыва выходил на сцену Театра юного зрителя шестьдесят три года. Создал разноплановую галерею ролей в драмах, комедиях, трагедиях, сказках, пьесах со сказочно-эпическими сюжетами. Даже в восемьдесят три года выглядел на сцене живым, динамичным и свежим. Всегда чутко следовал логике сцены. Ядро его творчества в основном формировалось эстетическими принципами реалистической актёрской школы. Исполнение героических персонажей отличалось психологическим драматизмом, а комические и сатирические роли — естественностью, колоритным юмором и эстетической утончённостью.
