Мухтар Гасан оглы Авшаров родился 15 февраля 1914 года в городе Ереване. В 1918 году в результате политики геноцида, проводившейся армянами, семья вместе с другими родственниками переехала в Турцию. Однако, не сумев там надолго задержаться, семья сначала переехала в Баку, а затем в Гянджу. В 1922 году он учился в железнодорожной школе в Гяндже, а по окончании девятого класса по инициативе деда приехал в Баку и начал учиться в ремесленном училище. Поскольку любовь к искусству и театру не покидала его ещё со школьных лет, в свободное время он выходил на сцену как актёр в драматическом кружке Агасалима Манафлы, действовавшем при Доме культуры железнодорожников. Вскоре этот кружок возглавил выдающийся актёр Ульви Раджаб, поставивший первым спектакль «Namus» по пьесе Александра Ширванзаде. Именно у этого большого мастера М. Авшаров получил своё первое театральное образование. В спектакле ему была поручена роль Сумбата. Окончив в 1933 году ремесленное училище и вернувшись в Гянджу, М. Авшаров работал помощником машиниста в гянджинском паровозном депо, одновременно продолжая актёрскую деятельность в Театре юных зрителей железнодорожников. Он сыграл главные роли в нескольких спектаклях, поставленных такими режиссёрами, как Габиб Исмайлов и Рза Сарабский. В 1936 году вновь образованный политотдел направил его в Москву на двухмесячные культурно-просветительные курсы, по окончании которых он был назначен на должность массовика в Дом культуры Гянджи. Через некоторое время его пригласили в Гянджинский государственный драматический театр. Впервые выйдя на профессиональную сцену в роли Гаджи Казима в пьесе Джалила Мамедкулизаде «Ölülər», М. Авшаров впоследствии сыграл Зульфугара в пьесе Самеда Вургуна «Vaqif», а также появлялся на сцене в произведениях Джафара Джаббарлы «Nəsrəddin şah», «Yaşar», «1905-ci ildə», «Almaz». Через три дня после начала Великой Отечественной войны он был арестован по политическим мотивам. Утверждалось, будто М. Авшаров публично протестовал против переименования Гянджи в «Kirovabad» и присвоения Гянджинскому театру имени Берии. Проведя пять лет в заключении, М. Авшаров благодаря поданным им заявлениям был в итоге освобождён на пять лет раньше срока. По его возвращении Гянджинский театр поставил спектакль «Eşq və intiqam» Сулеймана Сани Ахундова, и ему была поручена главная роль. На следующий день после премьеры его вновь уволили из театра. Приказ гласил, что он не должен появляться в общественных местах, среди публики. Оставшись на некоторое время без работы, М. Авшаров трудился рабочим на мельнице, а после смерти Сталина вновь возобновил деятельность в Гянджинском театре. За успешные выступления на сцене Гянджинского государственного драматического театра имени Джафара Джаббарлы М. Авшаров в 1960 году был удостоен почётного звания заслуженного артиста республики. Приглашённый в 1968 году в Азербайджанский государственный академический драматический театр, артист проработал там до конца 1990-х годов, создав образы самого разного характера в сотнях спектаклей. Когда заходила речь о дружбе, М. Авшаров шутливо говорил: «У меня всегда было очень искреннее отношение к женщинам. Я высоко ценю дружбу с ними, потому что им можно доверить тайну». В это же время на киностудии «Azərbaycanfilm» начались съёмки фильма Гусейна Сеидзаде «Dəli Kür», в котором Мухтару Авшарову досталась не очень большая роль. Успех этой роли усилил его интерес к кино, и вслед за этим начались съёмки фильма «Atları yəhərləyin». Здесь, создав образ иранского старосты, Мухтар Авшаров продемонстрировал характерную актёрскую игру. В 1989 году, следуя решениям периода перестройки, согласно которым люди старше 60 лет должны были уходить на пенсию, М. Авшаров был уволен с работы. В 1992 году народная артистка Амалия Панахова основала собственный Бакинский муниципальный театр и пригласила в него ветерана сцены Мухтара Авшарова. За время работы в театре он создал целую галерею интересных, разнохарактерных образов в спектаклях «Nadir şah» (Нариман Нариманов), «Dönüş» (Джафар Джаббарлы) и многих других. В 1996 году при Фонде культуры начал работу театр «Sönməyən ulduzlar», и режиссёр этого театра Мамедкамал Казымов пригласил туда М. Авшарова. Ему была поручена роль дяди Абдула в пьесе Джафара Джаббарлы «Solğun çiçəklər». К концу жизни его зрение стало слабеть. Даже в столь тяжёлые времена его продолжали приглашать на новые роли. Известный кинорежиссёр Вагиф Мустафаев пригласил его на съёмочную площадку, и актёр снимался, лишь считая шаги. 2 октября 2002 года Мухтар Авшаров был удостоен персональной пенсии Президента Азербайджанской Республики, а 7 ноября того же года, в связи с 10-летием Бакинского муниципального театра, ему было присвоено почётное звание народного артиста. В 2004 году распоряжением Президента Азербайджанской Республики он был награждён орденом «Шохрат» («Слава»). Мухтар Гасан оглы Авшаров скончался в декабре 2004 года.
