Энвер Гасанов родился 17 августа 1950 года в Баку. Учась до 7 класса в школе № 190, Энвер затем перешёл в школу рабочей молодёжи. Причиной этому стало то, что в 1965 году он поступил на актёрские курсы кино, открытые Адилем Искендеровым на киностудии «Азербайджанфильм» имени Джафара Джаббарлы. В 1969 году окончил курсы киноактёра. В 1969–1973 годах учился на факультете кино- и драматической актёрской игры Азербайджанского государственного института искусств имени М.А. Алиева. С 1965 года работает на киностудии «Азербайджанфильм». Энвер Гасанов начал сниматься в кино с юных лет. Особенно он известен созданием таких запоминающихся образов, как Джалал в фильме «Хочу семерых сыновей», Шахбаз в фильме «Дервиш взрывает Париж», Тархан в фильме «Бабек», Сирадж в фильме «Оседлайте коней», Мурад в фильме «Последняя ночь детства» и других интересных ролей. Он снимался вместе со своей женой, актрисой Момунат Гурбановой, в фильмах «Дервиш взрывает Париж» и «Оседлайте коней». В качестве режиссёра снял документальные фильмы «Плачь, мой Ходжалы, плачь», «Ловушка» и «Негаснущий светильник» о Гаджи Зейналабдине Тагиеве. За заслуги в развитии азербайджанского киноискусства 18 декабря 2000 года удостоен звания заслуженного артиста Азербайджана, а 1 августа 2018 года — звания народного артиста. 6 мая 2023 года за заслуги в развитии азербайджанской культуры удостоен персональной стипендии Президента Азербайджанской Республики. В январе 2025 года из-за ухудшения самочувствия был госпитализирован, 3 февраля выписан домой. Энвер Гасанов скончался 16 марта 2025 года после продолжительной болезни. Похоронен рядом с могилой жены на семейном кладбище в посёлке Бузовна города Баку.
